Читать ria.ru в

• Что такое порядок действий
• Порядок действий без скобок
• Порядок действий со скобками
• Порядок выполнения действий по шагам
• Частые ошибки
• Самостоятельная проверка знаний

Порядок действий в математике помогает правильно вычислять значения выражений, в которых встречается несколько операций. Общее правило такое: сначала выполняют действия в скобках, затем степени, после этого умножение и деление, а в конце — сложение и вычитание. Правила порядка действий в математике, примеры решения задач, тестовое задание и советы преподавателя — в материале РИА Новости.

Порядок действий — это установленная последовательность, по которой выполняют операции в математическом выражении. Она нужна, чтобы разные люди, решая один и тот же пример, получали одинаковый результат. Если выражение содержит несколько действий, нельзя выполнять их просто слева направо: сначала определяют приоритет каждой операции.

В первую очередь считают то, что находится в скобках. Затем выполняют возведение в степень. После этого идут умножение и деление, причем эти действия имеют одинаковый приоритет. Последними выполняют сложение и вычитание. Если действия имеют одинаковый приоритет, их выполняют слева направо.

В выражениях без скобок сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Например, в выражении 8 + 3 × 4 сначала умножают 3 на 4, а уже потом прибавляют 8: 8 + 12 = 20. Если начать со сложения, получится неверный результат.

Сложение и вычитание равноправны по приоритету, поэтому между ними нет правила "сначала сложение" или "сначала вычитание". Такие действия выполняют слева направо. Например: 18 − 5 + 2. Сначала получаем 18 − 5 = 13, затем 13 + 2 = 15.

То же правило действует, если в выражении несколько операций одного типа. Например, 20 + 7 − 4 + 3 решают последовательно: 27 − 4 + 3 = 23 + 3 = 26. Нельзя сначала сложить все числа, а затем отдельно вычесть.

Умножение и деление также имеют одинаковый приоритет. Если они встречаются в одном выражении без скобок, действия выполняют слева направо. Например: 24 ÷ 3 × 2. Сначала 24 ÷ 3 = 8, затем 8 × 2 = 16.

Важно не считать деление автоматически последним после всех умножений. В выражении 36 × 2 ÷ 6 сначала выполняют умножение: 36 × 2 = 72, затем деление: 72 ÷ 6 = 12.

Если в выражении есть и действия первой, и второй ступени, сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Например: 15 − 6 ÷ 2 + 4. Сначала выполняем деление: 6 ÷ 2 = 3. Получаем 15 − 3 + 4, после чего считаем слева направо: 12 + 4 = 16.

Скобки меняют последовательность вычислений: действия внутри них выполняют раньше остальных операций. Это позволяет явно указать, какую часть выражения нужно посчитать первой. Например, 5 × (3 + 2) дает 25, поскольку сначала вычисляют 3 + 2 = 5, а затем умножают результат на 5.

Без скобок то же набор чисел может дать другое значение. В выражении 5 × 3 + 2 сначала выполняют умножение: 15 + 2 = 17. Поэтому скобки — не просто оформление, а способ изменить порядок вычислений.

Рассмотрим выражение 18 − (6 + 2) × 2. Сначала выполняем действие в скобках: 6 + 2 = 8. Получаем 18 − 8 × 2. Теперь выполняем умножение: 8 × 2 = 16. Последним остается вычитание: 18 − 16 = 2.

Получается, что последовательность решения выглядит так: 18 − (6 + 2) × 2 → 18 − 8 × 2 → 18 − 16 → 2. Такой способ удобно использовать при самостоятельной проверке — он позволяет увидеть каждый этап вычисления.

Если скобки находятся одна внутри другой, сначала выполняют действия во внутренних скобках, затем переходят к внешним. Например: 20 − (4 + (6 − 2)). Сначала вычисляем внутреннее выражение: 6 − 2 = 4. Затем получаем 20 − (4 + 4), считаем внешние скобки и получаем 20 − 8 = 12.

После раскрытия каждого уровня скобок выражение становится проще. Главное — не переходить к внешним действиям, пока внутреннее выражение не рассчитано.

Для любого сложного выражения удобно использовать один и тот же алгоритм. Сначала найдите скобки и выполните действия внутри них. Если скобок несколько, начинайте с самых внутренних. Затем проверьте, есть ли в выражении степени, и вычислите их.

После этого переходите к умножению и делению. Их выполняют по порядку слева направо. На последнем этапе остаются сложение и вычитание — их также считают слева направо. Если действовать по этой схеме, количество ошибок заметно уменьшается.

"Одна из самых частых ошибок в вычислениях возникает не из-за сложных формул, а из-за неверного порядка действий. Выражение нельзя просто считать слева направо, — уточняет доцент кафедры математики и анализа данных Анна Овсянникова. — Сначала выполняют действия в скобках, затем возведение в степень и извлечение корня, после этого умножение и деление, а затем сложение и вычитание. При одинаковом приоритете действия выполняются слева направо.

Поэтому 18 : 3 × 2 = 12 сначала 18 делят на 3 и только потом умножают результат на 2. Отдельного внимания требует минус перед скобками. Например, выражение a − (b + c) после раскрытия скобок превращается в a − b − c, знак каждого слагаемого внутри скобок меняется на противоположный.

Ошибки часто появляются и тогда, когда ученик пытается выполнить несколько операций одновременно. Самый надежный способ этого избежать это перед вычислением определить действие с наивысшим приоритетом и двигаться по выражению последовательно. В математике аккуратность здесь важнее скорости, один неверно выбранный шаг способен изменить весь результат".

Попробуйте решить примеры самостоятельно, не подсматривая ответы. Это поможет проверить, действительно ли правило порядка действий стало понятным.

1. 7 + 3 × 4
2. 24 ÷ 6 + 5
3. 30 − 12 ÷ 3 × 2
4. 5 × (7 − 3) + 2
5. 24 − (6 + (5 − 2)) × 2

Ответы: 1) 19; 2) 9; 3) 22; 4) 22; 5) 10.

Теорема Пифагора